벡터의 내적은 왜 성분 곱의 합으로 표현되는가

A = <x,y> B = <a,b> 이라고 해보자.

$(A \cdot B)=|A||B|cos\theta = a \cdot x + b \cdot y $ 이다. 

 

이 벡터의 내적이 왜 요소 곱의 합으로 표현될까.

제 2 코사인 법칙으로 요소의 곱의 합으로 표현되는 것을 유도할 수 있다. 간단하게 표현된 ax+by에 어떤 수학적 동기가 숨어있는지 궁금했다. 찾아봤지만 뭔가 시원하게 해명되지 않았다. 

 

아래 글을 보고 어느정도 ax+by의 의미를 받아드릴 수 있었다.

https://angeloyeo.github.io/2020/09/09/row_vector_and_inner_product.html#google_vignette

 

벡터의 내적의 결과물은 스칼라이다. 

 ax + by 는 어떤 상수 c가 된다는 것이다. 

 

두 벡터의 내적의 결과가 상수 c로 고정된다는 것을 기하학적인 의미로 보자면 아래와 같다.

검은색으로 표시된 <a,b>의 벡터에 파란색의 <x, y> 벡터를 내적하면 내적의 정의에 의해 ax+by =c 라는 빨간색 자취를 그리게 된다.

ax + by =c의 특징은 기울기가 $-\frac b a$로 <a,b>의 기울기의 곱과 -1이 되면서, <a,b>와 수직으로 만난다는 것이다.

 

즉, 빨간색 선 위의 어떤 x, y던지 ax+by 함수를 통과하면 상수 c로 고정된다는 것이고, c값이 변한다는 것은 아래 그래프처럼 빨간색 그래프가 이동함을 의미한다. c' < c < c"